Что такое развертка конуса и как ее построить? Формулы и пример решения задачи

Круглый конус в геометрии

Приведем геометрическое определение этой фигуры. Круглым конусом называется поверхность, которая образована прямыми отрезками, соединяющими все точки некоторой окружности с одной-единственной точкой пространства. Эта единственная точка не должна принадлежать плоскости, в которой лежит окружность. Если вместо окружности взять круг, то указанный способ также приводит к получению конуса.

Вам будет интересно:Юридический колледж в Иваново: специальности, приемная комиссия, отзывы

Круг называется основанием фигуры, его окружность — это директриса. Отрезки, соединяющие точку с директрисой, называются генератрисами или образующими, а точка, где они пересекаются — это вершина конуса.

Круглый конус может быть прямым и наклонным. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.

Вам будет интересно:Термофильные бактерии: польза и вред для человека

Разница между ними заключается в следующем: если перпендикуляр из вершины конуса падает точно в центр окружности, то конус будет прямым. Для него перпендикуляр, который называется высотой фигуры, является частью его оси. В случае конуса наклонного высота и ось образуют некоторый острый угол.

Ввиду простоты и симметричности фигуры далее будем рассматривать свойства только прямого конуса с круглым основанием.

Особенности построения геометрических фигур

Рисунок геометрических фигур карандашом имеет такие этапы:

Штриховка

Штриховка – важный элемент в изображении трехмерных объектов. С ее помощью художник передает тень.

Правила, которые следует запомнить начинающему творцу, следующие:

• Штриховка выполняется только по форме предмета. Иногда можно совмещать штриховки, что способствует усилению тени.
• Заполнение штрихом следует начинать с теневых областей. Если это куб, то штрихами должна быть заполнена 1 из его граней, а границей светотени станут ребра куба. В случае с шаром, цилиндром и конусом границы не четкие, а более размытые.
• Предпочтение лучше отдавать вертикальной штриховке. Начинать следует от ближней части и затем следовать дальше – вглубь рисунка, при этом уменьшая нажим карандашом. От этого штрих светлеет и становится заметно, как поверхность постепенно уходит вдаль.

• Освещенную область нужно начинать штриховать от себя.

Свет и тень

Любая тень образуется, если имеется источник света. Художник должен заранее определить, где именно располагается этот источник и с какой стороны падают на предмет лучи. Если при рисовании возникают трудности со светотенью, следует потренироваться на простом варианте.

Применять можно одну из 2-х техник – штриховку или растушевку. Перед работой рекомендуется включить свет, который будет направлен на предмет. Также важно, чтобы в помещении не было других, более ярких источников света.

Начинающий художник должен запомнить, что существуют следующие участки на рисунке:

Важно уметь находить границу между светом и тенью. Ее форма зависима от рисуемого изображения. К примеру, на шаре эта граница одна, а на кубе – другая. Проблема поиска границы заключена в том, что она обычно размытая. Изредка она бывает четкой: чем ярче свет, тем четче граница.

Например:

• если посмотреть на шар, находящийся под яркими прямыми лучами, можно заметить, что граница светотени имеет изгиб и похожа на овал;
• в случае с цилиндром граница превратится в прямую линию;
• на кубе эта граница проходит прямо по ребру.

В изобразительном искусстве применяется прием, носящий название – «кьяроскуро». Он основан на противопоставлении освещенной и затененной областей. При искусственном освещении образуется среда, где свет становится слишком ярким, а тень – очень темной, что придает насыщенности и резкости.

Получение фигуры с помощью вращения

Перед тем как перейти к рассмотрению развертки поверхности конуса, полезно узнать, как с помощью вращения можно получить эту пространственную фигуру.

Предположим, что у нас имеется прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c. Первые две из них являются катетами, c — это гипотенуза. Поставим треугольник на катет a и начнем его вращать вокруг катета b. Гипотенуза c при этом опишет коническую поверхность. Эта простая методика получения конуса изображена ниже на схеме.

Очевидно, что катет a будет радиусом основания фигуры, катет b — его высотой, а гипотенуза c соответствует образующей круглого прямого конуса.

Свойства развёрток

Развёрткой криволинейной поверхности Ф называется плоская фигура , полученная путём совмещения поверхности Ф с плоскостью Σ (рис. 5.1). В начертательной геометрии плоскостью Σ является одна из плоскостей проекций.

Развёртывание поверхностей тел широко применяется в технике, поскольку большое количество технических конструкций изготавливается из листового материала. Заготовки таких конструкций, которые являются развёртками, используются для изготовления тонкостенных ёмкостей, воздуходувов, промышленной вентиляции и пневмотранспорта, фасонных частей пылеулавливателей, деталей подъёмно — транспортных приборов и т.д. (рис. 5.2).

Развёртывание поверхности

Применение развёрток

Поверхности Ф, которые можно совместить с плоскостью Σ без разрывов и складок, являются, развёртывающимися. К ним принадлежат все многогранники (см. п. 4.1), цилиндрические и конические поверхности (см. п. 3.2.1.3, рис. 3.55 б – в), торсы (см. п. 3.2.1.3, рис. 3.57). Все другие кривые поверхности не развёртываются на плоскость, поэтому при их изготовлении из листового материала они приближённо заменяются развёртывающимися поверхностями (призмами, пирамидами, цилиндрами, конусами). В этих случаях имеют место так называемые условные развёртки (см. п. 5.4.1.3 – 5.4.1.4).

Основные свойства развёрток:

а) прямая l на поверхности Ф отвечает прямой на развёртке

б) параллельные прямые на поверхности Ф отвечают параллельным прямым на развёртке

в) длина (натуральная величина) любой линии s на поверхности Ф равна длине линии на развёртке

г) угол α между линиями r, s на поверхности Ф равен углу между линиями на развёртке

д) площадь S фигуры на поверхности Ф равна плоскости соответствующей фигуры на развёртке

е) если прямая на развёртке отвечает кривой линии s на поверхности Ф, то кривая s является геодезическою линией поверхности Ф. Длина дуги МN геодезической линии является наименьшей из всех возможных дуг MN на поверхности Ф.

Описанные свойства геометрически интерпретированы на рис. 5.3.

Свойства развёрток

Геодезическая линия (от греческого γεωδαισία – разделение Земли) – линия минимальной длины, проведенная через две точки криволинейной поверхности. На развёртке поверхности эта линия — прямая.

Геодезическая линия широко применяется в неэвклидовой геометрии, теоретических и практических задачах геодезии – науки, которая изучает измерения пространства, в том числе размеры и форму Земли, её гравитационное поле и т.д.

Вид развертки конуса

Как можно догадаться, конус образован двумя типами поверхностей. Одна из них — это плоский круг основания. Предположим, что он имеет радиус r. Вторая поверхность является боковой и называется конической. Пусть ее образующая будет равна g.

Если у нас имеется бумажный конус, то можно взять ножницы и отрезать от него основание. Затем, коническую поверхность следует разрезать вдоль любой образующей и развернуть ее на плоскости. Таким способом мы получили развертку боковой поверхности конуса. Две поверхности вместе с исходным конусом показаны на схеме ниже.

Внизу справа изображен круг основания. По центру показана развернутая коническая поверхность. Оказывается, что она соответствует некоторому круговому сектору круга, радиус которого равен длине образующей g.

Схемы разных конусов

Белым цветом на схемах выделена часть, которую нужно отрезать. Ну а из розовой части нужно скрутить конус. Соответственно, каждая представленная схема показывает, какой конус по ширине получится в итоге.

Схемы разных конусов.

Ну вот, теперь вы знаете, как сделать конус из бумаги. Нужно лишь выбрать один из представленных выше вариантов и смело воплотить его в жизнь. Все способы рабочие и неоднократно проверенные временем. Рекомендуем также посмотреть, как сделать маску для сна и комнатные тапочки. Удачных самоделок, и до новых встреч в следующих обзорах!

Угол и площадь развертки

Теперь получим формулы, которые по известным параметрам g и r позволяют рассчитать площадь и угол развертки конуса.

Очевидно, что дуга кругового сектора, показанного выше на рисунке, имеет длину, равную длине окружности основания, то есть:

l = 2*pi*r.

Если бы весь круг радиусом g был построен, то его бы длина составила:

L = 2*pi*g.

Поскольку длина L соответствует 2*pi радианам, тогда угол, на который опирается дуга l, можно определить из соответствующей пропорции:

L ==> 2*pi;

l ==> φ.

Тогда неизвестный угол φ будет равен:

φ = 2*pi*l/L.

Подставляя выражения для длин l и L, приходим к формуле для угла развертки боковой поверхности конуса:

φ = 2*pi*r/g.

Угол φ здесь выражен в радианах.

Для определения площади Sb кругового сектора воспользуемся найденным значением φ. Составляем еще одну пропорцию, только уже для площадей. Имеем:

2*pi ==> pi*g2;

φ ==> Sb.

Откуда следует выразить Sb, а затем, подставить значение угла φ. Получаем:

Sb = φ*g2*pi/(2*pi) = 2*pi*r/g*g2/2 = pi*r*g.

Для площади конической поверхности мы получили достаточно компактную формулу. Величина Sb равна произведению трех множителей: числа пи, радиуса фигуры и ее образующей.

Тогда площадь всей поверхности фигуры будет равна сумме Sb и So (площадь круглого основания). Получаем формулу:

S = Sb + So = pi*r*(g + r).

Усеченный геометрический объект

Усеченная фигура представляет собой объект в пространстве, который состоит из двух оснований разной площади и конической боковой поверхности. В отличие от исходного конуса, его усеченный вариант не имеет вершины. Остальные линейные элементы для него такие же, как для конуса с вершиной. У усеченной фигуры также имеется две директрисы, ограничивающие каждое из оснований, и одна генератриса, которая опирается на линии направляющих кривых.

Рассматриваемый геометрический объект также бывает нескольких видов (эллиптический, наклонный). Чаще всего в задачах по геометрии встречается именно круглый прямой усеченный конус, который ограничен двумя круглыми основаниями.

Способы построения

Можно выделить два основных способа построения усеченного круглого геометрического объекта:

• из круглого прямого конуса;
• с помощью трапеции.

В первом случае необходимо взять коническую фигуру и режущую плоскость, которая будет параллельна основанию. После этого с помощью плоскости следует отсечь верхнюю часть конуса. Оставшаяся под плоскостью фигура будет усеченной. Следует отметить, что совершенно неважно, какая часть конуса с вершиной будет отсечена. Чем больше она будет, тем ближе окажутся друг к другу значения верхнего и нижнего радиусов в усеченной фигуре, то есть тем ближе она по форме будет походить на прямой цилиндр.

Второй способ получения усеченного конического объекта связан с использованием фигуры трапеции прямоугольного типа. Такая трапеция представляет собой два параллельных отрезка, которые имеют длины a и b. Они соединены одним перпендикуляром h и косым отрезком g.

Если прямоугольную трапецию поставить на большее основание и вращать ее вокруг перпендикуляра h, то получится усеченный конус. В нем отрезки a и b будут радиусами оснований объемной фигуры, перпендикуляр h станет высотой, а наклонный отрезок g будет представлять собой длину образующей. Эти четыре линейных характеристики определяют рассматриваемую объемную фигуру. Следует заметить, что для однозначного построения фигуры достаточно лишь трех любых из них, например, высоты и двух радиусов.

Площадь поверхности

Поверхность усеченной фигуры, в отличие от полного конуса, образована тремя частями: два круглых основания и боковая поверхность. Площади круглых оснований вычисляются по известной формуле для круга: pi*r2. Для боковой поверхности следует выполнить следующие действия:

1. Разрезать ее вдоль образующей и развернуть на плоскости.
2. Обратить внимание, что полученная фигура представляет собой сектор круга, у которого в верхней его части вырезан другой маленький сектор.
3. Достроить мысленно усеченную фигуру до полного конуса и определить его высоту H и директрису G. Через соответствующие параметры усеченного конуса они будут выражаться следующим образом: G = r1*g/(r1-r2), H = h*r1/(r1-r2), здесь радиусы оснований r1 и r2 такие, что r1>r2.
4. Рассчитать площади большого и маленького круговых секторов, а затем вычесть из первой вторую. В итоге получится следующая простая формула: Sb = pi*g*(r1 + r2).

Площадь всей поверхности рассматриваемой фигуры вычисляется как сумма трех величин S1, S2 и Sb:

S = S1 + S2 + Sb = pi*r12 + pi*r22 + pi*g*(r1 + r2).

Для определения величины S необходимо знать три линейных параметра усеченного конуса: радиусы оснований и длину генератрисы.

Формула объема

Для определения объема следует воспользоваться приемами, подобными тем, которые описаны в методике определения площади поверхности. Для начала следует усеченный конус достроить до полного, затем вычислить объемы фигур с высотами H и H-h по уже известной формуле. Разница этих объемов даст искомую формулу для усеченной фигуры с круглыми основаниями:

V = 1/3*pi*r12*H — 1/3*pi*r22*(H-h).

Подставляя в это выражение равенство для высоты H через линейные характеристики усеченной фигуры, можно получить конечную формулу:

V = 1/3*pi*h*(r12 + r22 + r1*r2).

Это выражение можно переписать не через линейные параметры, а через площади оснований фигуры S1 и S2:

V = 1/3*h*(S1 + S2 + (S1*S2)^0,5).

Записанная формула объема может быть получена универсальным способом без привлечения известного выражения для полного конуса. Для этого необходимо использовать интегральное исчисление, разбивая при этом усеченный геометрический объект на бесконечное количество тонких круглых дисков. Их радиусы будут постепенно уменьшаться от r1 до r2. Этот метод вывода формулы для объема не отличается от аналогичного для полного круглого конуса, изменяются лишь пределы интегрирования.

Построение развертки конуса на бумаге

Для выполнения этой задачи понадобится лист бумаги, карандаш, транспортир, линейка и циркуль.

В первую очередь начертим прямоугольный треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Его вращение вокруг катета в 3 см даст искомый конус. У фигуры r = 3 см, h = 4 см, g = 5 см.

Построение развертки начнем с рисования циркулем окружности радиусом r. Ее длина будет равна 6*pi см. Теперь рядом с ней нарисуем еще одну окружность, но уже радиусом g. Ее длина будет соответствовать 10*pi см. Теперь нам нужно от большой окружности отрезать круговой сектор. Его угол φ равен:

φ = 2*pi*r/g = 2*pi*3/5 = 216o.

Теперь откладываем транспортиром этот угол на окружности с радиусом g и проводим два радиуса, которые будут ограничивать круговой сектор.

Таким образом, мы построили развертку конуса с указанными параметрами радиуса, высоты и образующей.

Рисование геометрических тел вращения

Геометрические тела вращения начинают рисовать только после освоения изображения куба. Изначально фигуры изображают по отдельности, после – пробуют натюрморт.

Для успеха прорисовывания сложных форм, начинают с изображения простых. Модели можно приобрести в магазине или изготовить своими силами. Для этого используется картон или толстая бумага.

Фигуры нельзя заменять их фотографиями: срисовывание объемных фигур с плоской поверхности лишено смысла и не несет пользы.

Конус

Слово «конус» имеет греческое происхождение. Оно переводится как «сосновая шишка». Такое название фигуре дали потому, что она похожа на шишку или на колпак.

Если же выражаться математическим языком, эта фигура является симметричным телом, которое образуется вследствие объединения лучей, берущих начало из 1-й точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Основанием является круг. Если установить модель конуса основанием на горизонтальную поверхность и посмотреть на нее сбоку, она предстанет перед глазами как треугольник.

Однако в зависимости от угла, под которым смотрят на фигуру, нижняя ее часть, может превращаться в полукруг, поэтому при изображении конуса следует учитывать угол зрения. Также важно, с которой стороны на фигуру падает свет для последующего наложения штриховки.

Рисунок геометрических фигур карандашом: конус

Рисовать карандашом объемную геометрическую фигуру конуса следует следующим образом:

1. Наметить место и размеры фигуры, которая не должна быть очень маленькой или, наоборот, большой. Конус располагается выше середины листа: его верхняя часть оптически более легкая, за счет большего свободного пространства.
2. Наметить верхнюю часть фигуры и провести горизонтальную линию. Она будет исполнять роль оси основания.
3. Обозначить ширину основания засечками.
4. Провести вертикаль по центру фигуры.
5. Соединить вершины с основанием.
6. Визуально сделать крайние линии удаленными от зрителя, сделав их светлее.
7. Строить эллипс: для передачи объема ближняя часть овала должна быть более темной.
8. Продолжить работу над объемом. Для этого найти границу тени и света в вершине фигуры и проходящую к основанию. Верхняя часть линии должна быть четкой, а ее отдаленный край – более светлым.
9. Осуществить штриховку, двигаясь по вертикали от вершины и доводя до основания. Чтобы лучше передать форму, ввести штрихование и по горизонтали.
10. Обозначить контраст света и тени, сделав верхнюю часть более светлой. От горизонтальной поверхности, на которой установлена фигура, подсветить теневую часть.

Цилиндр

Цилиндр имеет 2 основания – внизу и вверху. Оба они имеют форму круга и абсолютно равны по размеру. Образующая цилиндра – вертикаль, расположенная перпендикулярно основанию.

Рисунок геометрических фигур карандашом: цилиндр

Рисунок геометрических фигур карандашом в форме цилиндра выполняется в следующем порядке:

1. На листе обозначить местоположение объекта и легкой штриховкой выявить объем формы. Не нужно слишком надавливать на карандаш, особенно когда рисуются вспомогательные линии. Применение ластика лучше сводить к минимуму.
2. Определить высоту и ширину фигуры.
3. Провести ось. Она должна делить фигуру пополам.
4. Проконтролировать, чтобы верхний эллипс был чуть меньше. При взгляде на модель легко заметить, что верхнее основание развернуто меньше.
5. Перейти к работе со светотенью. Граница ее прорисовывается по вертикали от одного основания к другому. Учитывая плавность изменения формы, сделать границу размытой. Штрих следует вертикально. Области, которые удаляются, на свету темнеют, а в тени становятся светлыми. Верхний эллипс попадает в область полутени, если источник света находится сбоку.
6. Уточнить форму. Для этого используется штриховка в горизонтальном направлении. Поскольку верхняя часть приближена к свету, она должна быть немного светлее.

Шар

Шар считается простейшей фигурой, недаром такую форму под воздействием сил природы приобретают все планеты и звезды. Однако изобразить шар – задача не из простых.

Первые трудности могут возникнуть с рисованием окружности, затем приходится сталкиваться с серьезными проблемами, появляющимися при штриховке.

Рисунок геометрических фигур карандашом: шар
Перед работой модель шара рекомендуется осветить мягким светом. В этом случае не будет резких теней, что значительно упростит задачу.

Последовательность рисования шара следующая:

1. Изобразить окружность, которая станет основой фигуры. В центре бумаги провести прямую, а в центре этой прямой поставить точку. Через нее провести еще 1 прямую, перпендикулярную 1-й. При проведении этих линий не нужно сильно давить на карандаш. Крайние точки линий нужно соединить так, чтобы образовалась окружность.
2. Наложить тени. Нужно определить, откуда попадает свет, и поставить точку в самой освещенной части. Ширину тени необходимо отметить штриховкой.
3. Провести диаметр через центр фигуры перпендикулярно лучам света.
4. На основании диаметра изобразить эллипс. Он обозначает границы светотени.
5. Поверхность фигуры условно разделить на несколько областей в зависимости от степени освещенности. Самая светлая область – это блик, ее можно оставить не закрашенной. Вокруг нее – светлое пятно, а далее постепенно переходить к тени. Изображать тень нужно дугообразными штрихами.

Для рисования натюрмортов из геометрических фигур необходимо:

1. Подготовить 3-4 фигуры с разными характеристиками. Например, это может быть куб, шар и цилиндр.
2. Расставить фигуры и подготовить драпировку ткани, на которой они стоят.
3. Выставить спокойное, рассеянное освещение.
4. Выбрать ракурс для срисовывания. Лучше, если он будет фронтальным.
5. Определиться с расположением рисунка и приступить к работе.

Для начинающего художника рисование геометрических фигур карандашом подобно обучению алфавита для тех, кто изучает язык. Такая тренировка поможет в дальнейшем при создании сложных фигур и композиций на бумаге.

Как построить конус?

Для того, чтобы начать работу, определимся с материалами:

• плотная бумага или бумага для черчения;
• простые карандаши (твердый, средний, мягкий);
• ластик;
• резак.

Лучше всего рисовать на вертикальной плоскости, чтобы избежать искажений.

Этап 1.

Намечаем простым карандашом композицию конуса — его расположение в пространстве листа. Конус не должен утыкаться в края, со всех сторон должно оставаться свободное место.

Рисуя с натуры, придерживайтесь пропорций реального предмета.

Этап 2.

Задайте свободно ширину основания конуса, после чего вложите эту ширину в высоту конуса и проведите перпендикулярную ось по отношению к основанию.

Этап 3

Строим основание — это эллипс, его раскрытие зависит от его расположения относительно линии горизонта. Раскрытие также можно понять с помощью наклона карандаша.

Этап 4

От высоты конуса откладываем прямые, которые касаются эллипса.

Онлайн-калькулятор площади поверхности конуса

Точка, которая является началом этих лучей, называется вершиной конуса. В случае когда в основании конуса лежит многоугольник, конус превращается в пирамиду.

Конус состоит из некоторых элементов, знать которые необходимо для решения задач.

Образующая — отрезок, соединяющий точку, лежащую на окружности круга, который является основанием, и вершину конуса. Высота — расстояние от плоскости основания до точки вершины конуса.

Формула площади поверхности усеченного кругового конуса

Для усеченного кругового конуса площадь боковой поверхности можно найти по формуле:

S бок = π ⋅ l ⋅ ( r + r ′ ) S_{\text{бок}}=\pi\cdot l\cdot (r+r’) Sбок​=π⋅l⋅(r+r′)

l l l — длина образующей конуса; r r r — радиус основания; r ′ r’ r′ — радиус круга, получаемый при усечении кругового конуса.

Пример

Условие возьмем из предыдущей задачи, добавив к нему только лишь радиус второго основания r ′ r’ r′. Пусть он будет равен 2 (см.). Требуется вычислить полную площадь поверхности этого усеченного конуса.

Решение

l = 5 l=5 l=5 r = 3 r=3 r=3 r ′ = 2 r’=2 r′=2

Оснований у нас теперь два, поэтому полная площадь оснований будет равна сумме площадей этих оснований с радиусами r r r и r ′ r’ r′:

S осн = S осн r + S осн r’ S_{\text{осн}}=S_{\text{осн r}}+S_{\text{осн r’}} Sосн​=Sосн r​+Sосн r’​

Площадь основания радиуса r r r:

S осн r = π ⋅ r 2 = π ⋅ 3 2 ≈ 28.26 S_{\text{осн r}}=\pi\cdot r^2=\pi\cdot 3^2\approx28.26 Sосн r​=π⋅r2=π⋅32≈28.26 (см. кв.)

Площадь основания радиуса r ′ r’ r′:

S осн r’ = π ⋅ r ′ 2 = π ⋅ 2 2 ≈ 12.56 S_{\text{осн r’}}=\pi\cdot r’^2=\pi\cdot 2^2\approx12.56 Sосн r’​=π⋅r′2=π⋅22≈12.56 (см. кв.)

Площадь боковой поверхности:

S бок = π ⋅ l ⋅ ( r + r ′ ) = π ⋅ 5 ⋅ ( 3 + 2 ) ≈ 78.50 S_{\text{бок}}=\pi\cdot l\cdot (r+r’)=\pi\cdot 5\cdot (3+2)\approx78.50 Sбок​=π⋅l⋅(r+r′)=π⋅5⋅(3+2)≈78.50 (см. кв.)

Полная площадь:

S = S осн + S бок = S осн r + S осн r’ + S бок ≈ 28.26 + 12.56 + 78.50 = 119 , 32 S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=S_{\text{осн r}}+S_{\text{осн r’}}+S_{\text{бок}}\approx28.26+12.56+78.50=119,32 S=Sосн​+Sбок​=Sосн r​+Sосн r’​+Sбок​≈28.26+12.56+78.50=119,32 (см. кв.)

Ответ: 119,32 см. кв.

Не знаете, как решить задачу по геометрии? Наши эксперты оперативно помогут вам с решением!